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学院：理学院

加试科目：实变函数

一、集合

考查内容

1.集合及其运算。

2.集合的势。

3.n维空间中的点集。

考查要求

1.熟练掌握集合的并、交、差(补)运算和对偶原理;掌握上极限、下极限的定义及其等价表述。

2.掌握映射、对等、集合势等概念，会用Bernstein 定理讨论集合的势，会比较集合势的大小。

3.掌握可数集概念与性质，会证[0,1]点集不可数，掌握具有连续势的集，幂集及其势。

4. 掌握聚点、内点、边界点、导集、闭包、开集、闭集、完备集的概念与相关性质。

5. 了解直线上开、闭集及完备集的构造，了解Cantor集。

二、测度论

考查内容

1.外测度与可测集。

2.Lebesgue可测集的结构。

考查要求

1.理解掌握(L) 外测度概念与性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积。

2.理解可测集的 Caratheodory 条件，可测集的概念与性质。

3.了解 型集、 型集以及波雷尔集的定义，掌握可测集类、可测集与开集、闭集的关系及可侧集结构;了解当 时， 中必有不可测集存在。

三、可测函数

考查内容

1.可测函数的定义及其性质。

2.可测函数的逼近定理。

考查要求

1.掌握可测函数概念及等价表述，掌握可测函数对代数、极限运算封闭等重要性质;

掌握命题在点集几乎处处成立概念;掌握简单函数及函数在点集连续的概念。

2.掌握可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系;掌握Egoroff 定理。

3.掌握可测函数结构，Lusin 定理。

4.掌握依测度收敛、几乎处处收敛及(基本)一致收敛三者的关系。

四、Lebesgue积分

考查内容

1.可测函数的积分。

2.Lebesgue积分的极限定理。

3.Fubini定理。

考查要求

1.理解简单函数的Lebesgue积分、一般可测函数的Lebesgue积分及无界集上的Lebesgue积分的概念。

2.掌握Lebesgue积分的基本性质并会应用基本性质计算。

3.理解Lebesgue积分的三大定理(Levi定理、Fatou引理及Lebesgue控制收敛定理)，会应用Lebesgue积分的三大定理证明和计算。

4.理解Lebesgue积分与黎曼积分的区别与联系。

5.了解(L)积分的几何意义，会陈述并应用重积分化累次积分的Fubini 定理。

6.掌握绝对连续函数概念;(L)不定积分与绝对连续函数的关系;Newton-Leibniz公式成立的充要条件。

参考书目：(选择其一)

1.《实变函数论与泛函分析》，曹广福编，第三版(上册)，高等教育出版社，2011;

2.《实变函数论与泛函分析》，夏道行等编，第二版，高等教育出版社，2009;

3.《实变函数论》，江泽坚编，第二版，高等教育出版社，2001;